Die mathematische ModelIierung deterministischer Prozesse aus Physik und Tech- nik, aber auch aus anderen Wissenschaftsgebieten, f�hrt sehr h�ufig auf Differential- gleichungen. Der Grund hierf�r liegt letztlich darin, da� oftmals die "Triebkr�fte des Prozesses" durch r�umliche und/oder zeitliche �nderungen der gesuchten Funk- tionen beschrieben werden (man denke etwa als einfaches Beispiel an das Newtonsche Grundgesetz) und da� dadurch Ableitungen dieser Funktionen mit auftreten. Handelt es sich.. dabei um ...
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Die mathematische ModelIierung deterministischer Prozesse aus Physik und Tech- nik, aber auch aus anderen Wissenschaftsgebieten, f�hrt sehr h�ufig auf Differential- gleichungen. Der Grund hierf�r liegt letztlich darin, da� oftmals die "Triebkr�fte des Prozesses" durch r�umliche und/oder zeitliche �nderungen der gesuchten Funk- tionen beschrieben werden (man denke etwa als einfaches Beispiel an das Newtonsche Grundgesetz) und da� dadurch Ableitungen dieser Funktionen mit auftreten. Handelt es sich.. dabei um eine Differentialgleichung f�r eine Funktion von mehreren Ver- �nderlichen, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung. Das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen ist au�erordentlich umfangreich und erfordert f�r tiefere Untersuchungen Methoden, die weit �ber das Anliegen dieser Lehrbuchreihe hinausreichen. Dieser Band kann deshalb dem Leser nur einen einf�hrenden Einblick in einige typische AufgabensteIlungen und L�sungsmethoden geben und damit einen Ausgangspunkt f�r weitere Literaturstudien schaffen. Auf Systeme von partiellen Differentialgleichungen mu�te v�llig verzichtet werden. Die partiellen Differentialgleichungen I. Ordnung werden im Kapitel 2 behandelt. Ihre Theorie ist gut ausgebaut. Ein wichtiges Ergebnis ist dabei - auch f�r nicht- lineare Gleichungen - die R�ckf�hrbarkeit auf gew�hnliche Differentialgleichungs- systeme. Von besonderer Bedeutung sind in den Anwendungen Differentialgleichungen 2. Ordnung. Ihre Vielfalt und ihr unterschiedliches Verhalten erfordern sowohl aus theoretischer als auch aus praktischer Sicht eine weitere Klassifikation. Diese Klassi- fikation wird im Kapitel 3 f�r gewisse fastlineare Gleichungen 2. Ordnung durch- gef�hrt. Es folgen einige elementare L�sungsmethoden f�r lineare Gleichungen 2. Ordnung auf der Grundlage des Superpositionsprinzips.
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