In diesem Lehrbuch wird der Spektralsatz f???r selbstadjungierte Operatoren aus dem Resultat der Linearen Algebra ???ber die Diagonalisierung Hermitescher Matrizen hergeleitet. Dabei werden Lebesgue-Stieltjes-Integrale verwendet und der Auswahl- sowie der Konvergenzsatz von Helly ???ber monotone Funktionen bereitgestellt. Wir konstruieren die Spektralschar durch eine technisch aufw???ndige Approximation, wobei die Stieltjes-Umkehrformel im Zentrum des Beweises steht. Ein Ergebnis hiervon ist, dass selbstadjungierte ...
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In diesem Lehrbuch wird der Spektralsatz f???r selbstadjungierte Operatoren aus dem Resultat der Linearen Algebra ???ber die Diagonalisierung Hermitescher Matrizen hergeleitet. Dabei werden Lebesgue-Stieltjes-Integrale verwendet und der Auswahl- sowie der Konvergenzsatz von Helly ???ber monotone Funktionen bereitgestellt. Wir konstruieren die Spektralschar durch eine technisch aufw???ndige Approximation, wobei die Stieltjes-Umkehrformel im Zentrum des Beweises steht. Ein Ergebnis hiervon ist, dass selbstadjungierte Operatoren nicht nur ein diskretes, sondern auch ein kontinuierliches Spektrum besitzen. Die auftretenden Streueigenwerte k???nnen hierbei nicht durch Variationsmethoden gewonnen werden. Dann wenden wir uns der zentralen Frage zu, welche elliptischen Differentialoperatoren eine selbstadjungierte Fortsetzung besitzen und somit im Geltungsbereich des Spektralsatzes liegen. Hier unterscheiden wir zwischen stabilen elliptischen Differentialoperatoren auf beschr???nkten Gebieten und denen auf dem ganzen Raum, wie etwa dem Schr???dingeroperator. Auch Laplace-Beltrami-Operatoren und der Schwarzsche Operator f???r Minimalfl???chen werden im obigen Sinne als selbstadjungiert erkannt. Am Ende dieses Buches geben wir eine Einf???hrung in die St???rungstheorie selbstadjungierter Operatoren. Hier weisen wir die analytische Abh???ngigkeit der Spektralschar vom St???rungsparameter nach. Dieses Werk zur Spektraltheorie ist insbesondere f???r das fortgeschrittene Mathematik- und Physikstudium geeignet, Kenntnisse in der Funktionalanalysis und der Theorie elliptischer Differentialgleichungen werden vorausgesetzt.
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