Excerpt from Einleitung in die Theorie der Bestimmten Integrale Durch die allgemeine Definition des bestimmten Integrales, welche Riemann seinen Unter suchungen ???ber die Fourier'sche Reihe voraufgeschickt hat und durch Mi heilungen welche Sch???ler des Herrn Weierstrass aus dessen Vorlesungen gemacht haben, hat die Discussion der Principien der Infinitesimalrechnung einen lebhafieren Anstoss in mathematischen Kreisen erhalten und es sind hierdurch Untersuchungen herbeigef???hrt, durch welche jene Principien, die durch ...
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Excerpt from Einleitung in die Theorie der Bestimmten Integrale Durch die allgemeine Definition des bestimmten Integrales, welche Riemann seinen Unter suchungen ???ber die Fourier'sche Reihe voraufgeschickt hat und durch Mi heilungen welche Sch???ler des Herrn Weierstrass aus dessen Vorlesungen gemacht haben, hat die Discussion der Principien der Infinitesimalrechnung einen lebhafieren Anstoss in mathematischen Kreisen erhalten und es sind hierdurch Untersuchungen herbeigef???hrt, durch welche jene Principien, die durch Dirichl et' 8 Arbeiten f???r ewig festgestt zu sein schienen, nicht unwesentliche Ab???nderungen erfahren haben. Es sind zwar Diri chlet's Grundlagen nicht geradezu hinf???llig geworden, aber es hat sich gezeigt, dass in ihnen manchmal Voraussetzungen enthalten sind, welche der Leser ???bersieht, so dass er die Beweise f???r allgemeiner h???lt, als sie sind. In Bezug auf die Fourier'sche Reihe hat Dirichlet selbst die Trag weite seiner Beweise ???bersch???tzt. Der strenge Beweis des grundlegenden Satzes, dass eine stetige Function, in welcher f???r abnehmende h lim f(x)] h in einem Intervalle ???berall Null ist, in diesem Intervalle einen unab???nderlichen Werth habe, auf welchen Satz die Integralrechnung auf gebaut werden muss, ist von Dirichlet gegeben, aber er findet sich, wenigstens in den von Herrn Me yer herausgegebenen Vorlesungen, mehr gelegentlich an einer Stelle, an der man seine Wichtigkeit nicht vermuthet. Uebrigens sind jene Vorlesungen in Bezug auf die Integration durch Reihen und auf die Zul???ssigkeit der Differentiation unter dem Integralzeichen von wirklichen Irrth mern in den Prin cipien nicht ganz frei. Diese Umst???nde machen es, wie ich glaube, w???nschenswerth, die neuem Methoden einem gr???sseren Publicum im Zusammenhange zug???nglich zu machen, was hier versucht wird. Die nachfolgenden Bogen besch???ftigen sich damit, die strenge Theorie der Quadratur und die Hilfsmittel der Auswerthung bestimmter Integrale in Kurzem zusammenzufassen. Zu diesen Hilfe mitteln geh???ren auch die Doppelintegrale und es musste ihnen deshalb ein Kapitel gewidmet werden, in welchem jedoch nur das N???thigste Platz gefunden hat. Ebenso fruchtbringend f???r die Auswerthung von Quadraturen ist die Integration zweigliedriger Di 'erentialien, welche merkw???rdiger Weise in den meisten Lehrb???chern eine sehr ober ???chliche Behandlung findet. Der Beweis des Cauchy'sohen Satzes oder, was dasselbe ist, der Beweis, dass das Integral eines zwei oder mehrgliedrigen Difi'erentials bis auf eine additive Constante bestimmt sei der meist mit Hilfe der Doppelintegrale (riemann's Beweis) bewiesen wird kann mit 'denselben Mitteln gef???hrt werden, als der f???r das eingliedrigc Di 'erential. Die Theorie der Integration zweigliedriger Di erentialien hat deshalb ebenfalls in einem Kapitel Platz. About the Publisher Forgotten Books publishes hundreds of thousands of rare and classic books. Find more at ... This book is a reproduction of an important historical work. Forgotten Books uses state-of-the-art technology to digitally reconstruct the work, preserving the original format whilst repairing imperfections present in the aged copy. In rare cases, an imperfection in the original, such as a blemish or missing page, may be replicated in our edition. We do, however, repair the vast majority of imperfections successfully; any imperfections that remain are intentionally left to preserve the state of such historical works.
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