1956 ver???ffentlichten Lax und Richtmyer [6 eine Arbeit, in der unter Benutzung funktionalanalytischer Hilfsmittel die Struktur des Konvergenzverhaltens von Differenzapproximationen f???r eine gro???e Klasse linearer Anfangswertaufgaben bei partiellen Differential- gleichungen aufgekl???rt werden konnte. Insbesondere konnte der Satz ???ber die ???quivalenz der numerischen Stabilit???t mit der punktweisen Konvergenz eines mit der gegebenen Anfangswertaufgabe konsistenten Differenzenverfahrens weitestgehend unabh???ngig von ...
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1956 ver???ffentlichten Lax und Richtmyer [6 eine Arbeit, in der unter Benutzung funktionalanalytischer Hilfsmittel die Struktur des Konvergenzverhaltens von Differenzapproximationen f???r eine gro???e Klasse linearer Anfangswertaufgaben bei partiellen Differential- gleichungen aufgekl???rt werden konnte. Insbesondere konnte der Satz ???ber die ???quivalenz der numerischen Stabilit???t mit der punktweisen Konvergenz eines mit der gegebenen Anfangswertaufgabe konsistenten Differenzenverfahrens weitestgehend unabh???ngig von dem der Aufga- benstellung zugrundeliegenden normierten Raum und unabh???ngig vom Typ der approximierten Aufgabe formuliert werden. Zugleich ergab sich, da??? unter gewissen Voraussetzungen neben den klassischen L???- sungen der gegebenen Anfangswertaufgabe auch deren verallgemeiner- te L???sungen durch das Differenzenverfahren approximierbar sind, wenngleich Fehlerabsch???tzungen oder auch nur Angaben ???ber die Kon- vergenzordnung im Falle verallgemeinerter L???sungen zun???chst aus- blieben. In den seither vergangenen zwei Jahrzehnten wurden mit Erfolg zahl- reiche Versuche unternommen, diese Lax-Richtmyer-Theorie in ver- schiedenen Richtungen zu erg???nzen und zu verallgemeinern. Dabei zeigte sich insbesondere, da??? die punktweise Konvergenz der ite- rierten Differenzenoperatoren bei der Approximation nichtlinearer Differentialgleichungen in der Regel nicht ausreicht, um die nume- rische Brauchbarkeit eines Verfahrens zu gew???hrleisten, jedoch ge- lang es, auch bei entsprechend verfeinerten Konvergenzbegriffen un- ter Verwendung geeigneter Stabilit???tsdefinitionen ???quivalenzs???tze aufzustellen und damit die Lax-Richtmyer-Theorie einschlie???lich der aus ihr f???r konkrete Probleme in den Anwendungsgebieten resultie- renden Forderungen auf solche nichtlinearen Probleme zu erweitern. Naturgem?????? spielte dabei die Frage der Existenz und der numerischen Erfa???barkeit verallgemeinerter L???sungen nichtlinearer Probleme ei- ne nicht unerhebliche Rolle.
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