Die innere Geometrie einer Fl???che ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen unge???ndert bleiben, also nur von ihrer ersten Fundamentalform abh???ngen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begr???ndet, da??? das Produkt der Hauptkr???mmungsradien einer Fl???che eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr- dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. W???hrend man zun???chst nur das ...
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Die innere Geometrie einer Fl???che ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen unge???ndert bleiben, also nur von ihrer ersten Fundamentalform abh???ngen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begr???ndet, da??? das Produkt der Hauptkr???mmungsradien einer Fl???che eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr- dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. W???hrend man zun???chst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all- gemeinen Bogenelementes, eine M???glichkeit, die bereits B. RIEMANN erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD ???ber Fl???chen konstanter negativer Kr???mmung und von D. HILBERT ???ber die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, da??? ein gro???er Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Gro???en entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be- n???tigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes erm???glichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits- voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zun???chst stand jedoch die Topologie der metrischen R???ume im Vordergrund des Interesses. Erst mit K. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei B???chern von A. D. ALEXANDROW[6J, L. M. BLuMENTHAL [1J und H.
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